STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 19 luglio 2012

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• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. L'energia di eccitazione dello stato del carbonio 1s²2s²2p3s (¹P₁) è pari a 7.685 eV e quella dello stato 1s²2s²2p² (¹D₂) è 1.264 eV. Si calcoli la lunghezza d'onda corrispondente alla transizione tra questi due livelli. Si mostri come un campo magnetico costante modifica i livelli, indicando sul grafico le transizioni di dipolo elettrico permesse. Si calcolino le lunghezze d'onda massima e minima di tali transizioni, se l'intensità del campo magnetico è pari 0.5 T.

2. Un fascio di atomi di O proviene da un forno a temperatura tale che i tre stati 1s²2s²2p⁴ (³P₂), (³P₁) e (³P₀) sono praticamente equipopolati e che l'energia cinetica media degli atomi è E_kin=0.3 eV. Tali atomi sono inviati in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza l=0.5 m, dov'è presente un gradiente di campo (∂ B)/(∂ z)= 120 T/m. All'uscita dal magnete, il fascio colpisce immediatamente uno schermo dotato di opportuno rivelatore. Si calcoli il numero totale di componenti del fascio osservate, e la distanza tra le due componenti più lontane.

3. Si valuti il valor medio della distanza tra i due protoni della molecola H₂ e la fluttuazione quadratica media di tale distanza, dovuta al moto quantistico di punto zero nello stato fondamentale, assumendo l'approssimazione armonica. Si valuti anche il rapporto tra tali quantità. Sono sperimentalmente noti l'energia vibrazionale (4395 cm^-1) e la costante spettroscopica rotazionale (h² /2I = 61.0 cm^-1). Si ricorda l'espressione x_m = √(h/(ω µ)) per la scala di lunghezza di un oscillatore armonico di frequenza angolare ω e massa µ.

4. Si stimi (con una precisione di almeno il 10%) la temperatura necessaria a produrre, con un'efficienza dello 0.1 %, raggi X soffici di energia ≥ 10 eV mediante una sorgente termica di corpo nero. [Suggerimenti: (a) per x >> 1, approssimando (e^x ± 1)^-1 ≅ e^-x l'errore introdotto è del tutto trascurabile; (b) ∫₀^∞ x³/(e^x -1) dx = π⁴/15; (c) la soluzione approssimata di un'equazione non algebrica si può ottenere per bisezione numerica].

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, h=1.05457267⋅ 10^-34 J s, q_e=1.60217733⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.30707956⋅ 10^-28 J m, m_e=9.1093897⋅ 10^-31 kg, m_p=1.6726231⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.6605402⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380658⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.0221367⋅ 10²³ mol^-1.