STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 29 gennaio 2015

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Atomi di scandio nella configurazione [Ar]3d4s²(²D) fuoriescono da una fornace alla velocità media di 800 m/s e sono collimati e immessi in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza 0.5 m e con gradiente di campo dB/dz=25 T/m. Assumendo una significativa popolazione termica di tutte le componenti di spin-orbita della configurazione data, si determini il numero totale di componenti in cui si separa il fascio e il massimo angolo di deflessione angolare.

2. Al di là dell'usuale approssimazione di rotatore rigido, la distanza media tra i nuclei di una molecola diatomica non necessariamente coincide con il minimo di V_ad(R), ma con il minimo di V_ad(R) + V_centrif(R), dove il contributo centrifugo all'equazione radiale dipende dal numero quantico rotazionale L, oltre che dalla separazione interatomica R. Si consideri N₂, e si assuma V_ad(R) = ½ K(R-R₀)², con K=2300 kg/s² e R₀=109 pm. Tenendo conto del contributo centrifugo, si valuti la separazione media tra i due nuclei di azoto per L=0 e L=10. [Per risolvere la risultante equazione di quarto grado si suggerisce una procedura iterativa nella quale il contributo di V_centrif(R) viene inizialmente valutato per R=R₀, e successivamente aggiornato.] Per ciascuna delle distanze medie corrispondenti ai due valori dati di L, si valuti la separazione energetica tra stati elettronici di bonding e di antibonding, assumendo che le loro energie siano date dagli autovalori della matrice (

   Eat	-Δ
   -Δ	Eat

   ) con E_at=-8 eV e Δ=Δ(R) = 10 eV× exp(-R/120 pm).

3. Neutroni di energia cinetica 20 meV diffrangono su potassio solido (cristallo cubico a corpo centrato). Il minimo angolo di Bragg è 2θ= 31.18^°. L'energia del fondo della banda di conduzione di questo metallo è a -4.34 eV rispetto al livello di vuoto all'esterno del solido. Assumendo i dati precendenti e l'approssimazione di una banda di conduzione parabolica (elettroni liberi) occupata da un elettrone per atomo, si valuti il potenziale d'estrazione del potassio.

4. Si determini l'energia media del campo elettromagnetico all'equilibrio alla temperatura T=999 K in una cavità di corpo nero di volume 1 cm³. Si valuti inoltre il numero medio di fotoni. [Si ricorda che ∫₀^∞ (x³)/(e^x -1) dx=π⁴/15 e che ∫₀^∞ (x²)/(e^x -1) dx=2.40411.]

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.05457160⋅ 10^-34 J s, q_e=1.60217646⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.30707706⋅ 10^-28 J m, m_e=9.10938188⋅ 10^-31 kg, m_p=1.67262158⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.6605402⋅ 10^-27 kg, k_B=1.3806503⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.02214199⋅ 10²³ mol^-1.