STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 24 febbraio 2015

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Si costruisca lo schema dei livelli X del tallio (Tl), indicando le energie di eccitazione K, L, M in eV. Si trascuri la struttura fine. Lo spigolo di assorbimento K viene osservato a λ_K = 14.50 pm e le lunghezze d'onda delle prime righe della serie K sono: K_α = 17.02 pm, K_β = 15.06 pm. Si determinino le energie cinetiche dei fotoelettroni prodotti dalla ionizzazione delle shell K, L, M del tallio, indotta da raggi X di 100 keV. Si valutino inoltre le velocità finali di questi stessi fotoelettroni.

2. Si valuti il calore specifico molare totale di un gas di molecole di CO alla temperatura di 500 K, sapendo che la prima linea rotazionale pura è osservata alla frequenza 115.3 GHz, e che la frequenza di vibrazione è pari a 64100 GHz.

3. La densità del potassio solido è pari a 856 kg/m³, e la sua velocità del suono è in media v_s=2700 m/s. Con questi dati, e trattando gli elettroni di conduzione come liberi e non interagenti, si valuti la temperatura a cui i contributi elettronico e vibrazionale al calore specifico del potassio si uguagliano. [Può essere utile ricordare l'espressione valida a basse temperature per l'energia interna per elettrone nel gas di Fermi: u(T) =u(0) + (π k_B T)²/ (4 ε_F), il legame tra frequenza angolare di taglio del modello di Debye, velocità media del suono e densità numerica degli atomi N_at/V: ω_D = v_s (6 π² N_at/V)^1/3, e l'identità ∫₀^∞ dx  x³ /(e^x -1) = π⁴/15 ]

4. Si consideri un ensemble di N particelle spin-1/2 identiche ma ``distinguibili'' in quanto occupanti stati ``orbitali'' diversi (ad es. localizzate su siti differenti). Si assuma che lo stato fondamentale degli spin li veda tutti allineati. Si indichi con ε il costo energetico di rovesciare uno spin. Detta T la temperatura, si calcoli un'espressione per la capacità termica degli N spin:
   • (a) nell'approssimazione di includere solamente la popolazione dello stato fondamentale e degli N stati con 1 solo spin girato;
   • (b) tenendo invece conto di tutti i 2^N stati con configurazioni qualsiasi di spin, assumendoli non interagenti ed associando lo stesso costo energetico ε al rovesciamento di ciascuno spin.
   Si discuta brevemente quando ci si può aspettare che le due espressioni forniscano stime approssimativamente uguali. Dati ε=0.1 eV e T=50 K, si valutino le espressioni ottenute in (a) e (b) per N=10⁶ e per N=10¹² particelle.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.05457160⋅ 10^-34 J s, q_e=1.60217646⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.30707706⋅ 10^-28 J m, m_e=9.10938188⋅ 10^-31 kg, m_p=1.67262158⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.6605402⋅ 10^-27 kg, k_B=1.3806503⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.02214199⋅ 10²³ mol^-1.