STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 18 giugno 2015

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Si valuti l'energia di Fermi per gli elettroni di conduzione del tungsteno (densità ρ=19.3 g/cm³) assumendo che un elettrone per atomo sia in banda di conduzione e trascurando gli effetti del potenziale periodico del cristallo e della temperatura finita T=2500 K. Sapendo che la soglia fotoelettrica del tungsteno corrisponde ad una lunghezza d'onda λ=290 nm, si valuti la densità numerica di elettroni di conduzione in grado di uscire spontaneamente (per effetto termoionico) dal cristallo con energia cinetica finale minore di 1 meV. Si ricorda che la densità di stati per elettroni (spin ½) liberi non interagenti in un volume V è:

   g(ε) dε = (√2 m_e^3/2V)/(π²ℏ³)  √ε   dε  .

2. La frequenza centrale della banda di assorbimento vibrazionale della molecola di HCl è ν₀= 8.66 10¹³ Hz. Si valuti, con una precisione del 10%, la temperatura alla quale il contributo vibrazionale alla capacità termica di un campione gassoso di HCl vale due terzi di quello rotazionale.

3. Materiali vetrosi disordinati hanno spesso una distribuzione ``frattale'' degli atomi, con un massa contenuta in una sfera di raggio r che cresce come r^d, dove d è appunto la dimensione frattale. Un'analisi dello spettro delle frequenze di vibrazione può mostrare una densità delle energie vibrazionali che a piccola ε va come g(ε) dε = η  (ε^α)/(ε_D)^α+1 dε  . dove α≅ d-1, ε_D=ℏω_D è un'energia, e η è un'opportuna costante. Nello schema del modello di Debye, si assuma che tale espressione valga per tutto l'intervallo da ε=0 a ε=ε_D, e si annulli al di fuori. Si ricavi il valore di η per un materiale composto di N atomi per cui di cui sia noto ε_D e α, e lo si valuti per N=10²² e α=1.7. Si consideri inoltre l'espressione dell'energia interna U in funzione della temperatura T. Si verifichi che a bassa temperatura U≅ costante× T^γ e si valuti γ, e che ad alta temperatura U≅ A T e si valuti la costante A.

4. Si consideri il processo di ionizzazione (in due stadi): hν + He → He^*→ e^-+He⁺ dove He è elio nello stato fondamentale 1s², He^* rappresenta uno stato intermedio eccitato, in configurazione 2s4p, e He⁺ è lo stato fondamentale dell'elio singolarmente ionizzato. Descrivendo i due elettroni come approssimativamente indipendenti, assumendo che l'elettrone 2s sia soggetto al potenziale coulombiano del nucleo non schermato mentre l'elettrone 4p al potenziale totalmente schermato V(r)=-q_e²/(4 π ε₀ r):
   • ricavando l'energia dello stato eccitato, si valuti la frequenza del fotone incidente, sapendo che l'energia dello stato fondamentale di He è E=-79.00 eV;
   • si trovi la velocità dell'elettrone e^- emesso al termine del processo.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.05457160⋅ 10^-34 J s, q_e=1.60217646⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.30707706⋅ 10^-28 J m, m_e=9.10938188⋅ 10^-31 kg, m_p=1.67262158⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.6605402⋅ 10^-27 kg, k_B=1.3806503⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.02214199⋅ 10²³ mol^-1.