STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 24 giugno 2016

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. La banda di conduzione di un cristallo di sodio sia caratterizzata da energia ε(k) = -B-C cos(a/2 [(π)/6]^1/3 |k|), dove B=2.75 eV, C=2 eV, e l'energia del vuoto all'esterno del cristallo è posta a ε=0. Ricordando che la struttura cristallina del sodio è cubica a corpo centrato (bcc) di passo reticolare a=429 pm (lato della cella cubica convenzionale), si valutino: (a) la funzione lavoro e (b) la massa efficace degli elettroni a k=0.

2. Si stimi l'energia necessaria per dissociare la molecola ²³Na ³⁵Cl nei due ioni Na⁺ e Cl^- costituenti, sapendo che la lunghezza d'equilibrio del legame è di 236 pm e assumendo che il potenziale interatomico sia la somma dell'attrazione coulombiana tra gli ioni e di una parte repulsiva della forma C/R⁷, con C costante opportuna. Se al posto di ³⁵Cl si considerasse ³⁷Cl quale sarebbe il risultato?

3. Si consideri la transizione 6s_1/2 ↔ 6p_1/2 del cesio atomico gassoso rarefatto. La lunghezza d'onda della radiazione associata è 890 nm. Assumendo un tempo di vita τ=2.2× 10^-7 s del livello eccitato, si valuti il tempo necessario affinché la popolazione dello stato eccitato, supposta inizialmente pari al 90%, si riduca al 45% assumendo completa assenza di radiazione incidente alla lunghezza d'onda della transizione. In presenza di radiazione di corpo nero alla temperatura T = 3500 K, si calcoli il rapporto tra le popolazioni dei livelli 6s_1/2 e 6p_1/2 dopo un tempo molto più lungo di τ.

4. Si consideri un atomo d'idrogeno in uno stato |b> a momento angolare l=0, caratterizzato da una funzione d'onda radiale normalizzata della forma R_b(r)=2 b^-3/2  e^-r/b , si ottenga il valore del parametro b che minimizza l'energia totale < b|H|b>, con H= T+U = -(ℏ²)/(2m_e)∇² - (e²)/r , dove e²≡ q_e²/(4 π ε₀), e la massa del nucleo è considerata infinitamente pesante rispetto alla massa m_e dell'elettrone.
   [Suggerimento: si osservi che modificare il parametro b produce un riscalamento lineare delle distanze. Tale riscalamento agisce in maniera diversa per le energie medie cinetica < b|T|b> e potenziale < b|U|b>. Si determinino le leggi di potenza con cui scalano gli integrali rilevanti: < b|∇²|b> = -C  b^α e < b|r^-1|b> = D  b^β. Una volta determinati correttamente α e β, i prefattori valgono C=D=1.]

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.