STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 14 luglio 2016

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Per ciascuno degli stati dell'erbio (Z=68) in configurazione [Xe]4f¹²6s² caratterizzati dalla notazione spettroscopica ³H_J e ³F_J e per tutti i possibili valori di J, si valuti il modulo del momento magnetico atomico |µ|, esprimendolo in unità del magnetone di Bohr µ_B. Supponendo di inviare fasci di atomi in questi stati, tutti con la stessa energia cinetica, in uno stesso apparato di Stern-Gerlach, si determini quale tra questi stati subisce la massima deflessione della componente meno deflessa (esclusa la componente non deflessa).

2. Si considerino i modi di vibrazione trasversali di una corda di chitarra di lunghezza l=0.80 m. Sia nota la velocità del suono v_s=400  m/s di queste onde trasversali. Trattando queste vibrazioni come oscillatori armonici quantistici, si valuti il loro contributo alla capacità termica della corda alla temperatura T=0.01 K. Si verifichi che ℏ ω_min << k_B T<< ℏ ω_max, dove ω_min è la frequenza angolare fondamentale (detta anche prima armonica) di vibrazione della corda senza nodi e ω_max è la massima frequenza possibile, quella dell'armonica 10⁸, caratterizzata da 10⁸-1 nodi. Si suggerisce di rimpiazzare la somma sui modi con un integrale, facendo uso del seguente risultato: ∫₀^∞ [x/2/sinh(x/2)]² dx = π²/3.

3. Il potenziale adiabatico di stato fondamentale di una molecola di H³⁵Cl sia approssimato da V_ad⁽⁰⁾(R)= E_b[ e^-2a(R-R₀) - 2 e^-a(R-R₀) ] (potenziale di Morse), con E_b=4.45 eV, R₀=0.128 nm ed a=19.0 (nm)^-1. Si assuma che nel primo stato elettronico eccitato il potenziale adiabatico assuma la seguente forma V_ad⁽¹⁾(R)= (A)/(R²), con A=2.7× 10^-39 J m². Si valuti (i) l'energia di legame della molecola nello stato fondamentale, (ii) l'energia necessaria a indurre la transizione elettronica, nell'approssimazione di transizione ``verticale'' in R (Franck-Condon), e (iii) l'energia cinetica finale totale degli atomi una volta che la molecola risulti dissociata a seguito di questa eccitazione elettronica.

4. Si consideri un cristallo monodimensionale con passo reticolare a=340 pm nel quale ciascun sito del reticolo è occupato da un atomo di magnesio (Z=12). Gli elettroni di valenza possono occupare le seguenti due bande: ε^a_k=-t  cos(ka) ,     ε^b_k=t'   cos(ka) +Δ. Per le due scelte dei parametri (i) t=1 eV, t'=0.5 eV, Δ=0.75 eV e (ii) t=0.5 eV, t'=0.15 eV, Δ=0.75 eV si determini l'energia di Fermi e si dica se il solido è un metallo un isolante o un semiconduttore. Nel caso di un solido isolante o semiconduttore, si valuti la massa efficace degli elettroni che vengano eccitati termicamente nel minimo della banda di conduzione, e la si esprima in unità di massa dell'elettrone.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.