STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 22 febbraio 2017

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Di un cristallo di ferro (struttura cubica a corpo centrato) si considerino i fononi caratterizzati da spostamenti rigidi di ciascun piano atomico orientato perpendicolarmente a una diagonale principale della cella cubica. Si prendano in considerazione i soli spostamenti u_i perpendicolari ai piani stessi [dunque i fononi longitudinali in direzione (111)]. Si assuma un'interazione elastica tra piani primi vicini, cioè una forza di richiamo su ogni atomo del piano i-esimo data da F_i= C(u_i+1-u_i) + C(u_i-1-u_i), e si indichi con a la distanza d'equilibrio tra piani primi vicini. Si scriva la legge di dispersione ω(k) di tali fononi, e si valuti la frequenza di Debye ω_D di un modello che descriva la termodinamica di questi fononi con le approssimazioni standard di Debye applicate al caso unidimensionale, sapendo che C=66.6 N/m.

2. Le prime due transizioni otticamente permesse in approssimazione di dipolo elettrico dell'atomo di Ne a partire dallo stato fondamentale sono osservate alle energie di eccitazione di 16.8 eV e 19.8 eV. Si determini la configurazione elettronica ed il relativo termine spettroscopico ^2S+1[L]_J degli stati finali eccitati coinvolti in queste due transizioni. Si valuti inoltre come cambiano tali righe d'assorbimento in presenza di un campo magnetico uniforme di 1.7 T agente sul campione gassoso.

3. Un solido isolante contiene impurezze diluite, dunque praticamente non interagenti, di concentrazione 2.9× 10²¹ m^-3. Ognuna di queste impurezze può venire schematizzata come un sistema a due livelli, rispettivamente ad energia E₀=0 (degenere 2 volte) ed E₁=2 meV (degenere 3 volte). Si valuti il contributo di queste impurezze al calore specifico (per unità di volume) del materiale, alle temperature di 20 K e 200 K.

4. Si considerino i livelli elettronici molecolari derivati dagli orbitali atomici 2p della molecola O₂. Tali livelli si classificano in orbitali σ e π a seconda del loro momento angolare ℏ m lungo l'asse della molecola. Si assuma che le energie degli orbitali σ-σ^* e π-π^* risultino dalla diagonalizzazione delle seguenti matrici: (

   E2p	-Δm
   -Δm	E2p

   ) con E_2p=-8 eV e Δ_m=Δ_m(R) = ε_m exp(-R/λ_m), dove ε_m = (1+|m|)  12 eV e λ_m=(2-|m|) 72 pm. Tenendo conto delle occupazioni di tali livelli molecolari e delle regole di Hund si mostri che alla distanza d'equilibrio R_M = 121 pm la molecola è paramagnetica (S=1). Si determini inoltre la distanza interatomica al di sotto della quale le occupazioni standard dei livelli elettronici prevedono uno stato diamagnetico con tutti gli spins appaiati.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.