STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 19 giugno 2017

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Si consideri un ensemble di N particelle spin-1/2 identiche ma ``distinguibili'' in quanto occupanti stati ``orbitali'' diversi (ad es. localizzate su siti differenti). Si assuma che lo stato fondamentale degli spin li veda tutti allineati. Si indichi con ε il costo energetico di rovesciare uno spin. Detta T la temperatura, si calcoli un'espressione per la capacità termica degli N spin:
   • (a) tenendo conto di tutti i 2^N stati con configurazioni qualsiasi di spin, assumendoli non interagenti;
   • (b) nell'approssimazione di includere solamente la popolazione dello stato fondamentale e degli N stati con un solo spin girato.
   Si discuta brevemente quando ci si può aspettare che le due espressioni forniscano stime approssimativamente uguali. Dati ε=50 meV e T=25 K, si valutino le espressioni ottenute in (a) e (b) per N=10⁶ e per N=10¹² particelle.

2. Un fascio di raggi X dell'energia di 30 keV colpisce un bersaglio di palladio. Tra gli elettroni fotoemessi se ne osservano numerosi di energia cinetica 5650 eV, 26396 eV, 26670 eV e 26827 eV. Sulla base di questi dati, si valuti l'energia delle shell interne del palladio. Si assegni la shell di provenienza degli elettroni di energia minore. Si valuti con 3 cifre significative la carica efficace Z_eff agente sugli elettroni di quest'ultima shell, consistentemente con le energie misurate dei fotoelettroni.

3. Sono sperimentalmente note l'energia vibrazionale (ν =3817  cm^-1) e la costante spettroscopica rotazionale (ℏ² /2I = 5.69  meV) della molecola di HD. Si stimi la distanza media tra i due nuclei in tale molecola. Si valutino i contributi vibrazionale e rotazionale al calore specifico molecolare alla temperatura di 480 K.

4. Il sodio è un metallo monovalente di struttura cubica a corpo centrato (bcc) con passo reticolare a=429 pm. Si assuma che la banda di conduzione si possa rappresentare mediante un'espressione del tipo E(k)=E₀ - t cos(|k|a/3) con E₀=-3.80 eV, e t=5.44 eV. Lo zero dell'energia è posto a distanza infinita fuori dal metallo. Si valuti l'energia di Fermi, la velocità di Fermi e la massa efficace degli elettroni all'energia di Fermi.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.