STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 19 febbraio 2020

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Materiali vetrosi disordinati hanno spesso una distribuzione ``frattale'' degli atomi, con un massa contenuta in una sfera di raggio r che cresce come r^d, dove d è appunto la dimensione frattale. Per tali materiali capita che un'analisi dello spettro dei modi normali di vibrazione mostri una densità delle energie vibrazionali ε=ℏω che a piccola energia va come g(ε)   dε ≈ (3 N d)/(ε_D)^d  ε^d-1  dε  , dove ε_D=ℏω_D è un'energia, e N è il numero di atomi del campione. Nello schema del modello di Debye, si assuma che g(ε) segua esattamente tale espressione per tutto l'intervallo da ε=0 a ε=ε_D, e si annulli al di fuori. Per un campione contenente una mole di atomi e di dimensione frattale d=2.6, una volta espressa l'energia interna vibrazionale U in funzione della temperatura T, si mostri (i) che a bassa temperatura U≅ costante× T^γ, valutando l'esponente γ, e che (ii) ad alta temperatura U≅ A T e si valuti la quantità A.

2. Si determini un'espressione per lo spostamento relativo della frequenza Δ ν/ν di una linea spettrale nello spettro rotazionale di una molecola biatomica eteroatomica a causa della coesistenza di diversi isotopi di uno degli atomi. Si calcoli tale spostamento relativo per una mistura di H ³⁵Cl e H ³⁷Cl e per una mistura di H ³⁵Cl e D ³⁵Cl. [Per il denominatore ν, si prenda la media tra le frequenze corrispondenti ai due isotopi.]

3. Si assuma che, in una scala d'energia che pone lo zero per un elettrone a riposo a grande distanza dal solido, l'energia di banda degli elettroni 5s di un ipotetico cristallo unidimensionale di stronzio sia data da ε_k = A+B cos(k a) + B cos(2 k a) /(2√3), dove A=-5.5 eV, B=-3.9 eV, k è il vettore d'onda e a=167 pm è il passo reticolare. Si determini la massima lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica in grado di produrre effetto fotoelettrico in tale solido.

4. Si costruisca lo schema dei livelli X del tallio (Tl), indicando le energie di eccitazione K, L, M in eV. Si trascuri la struttura fine. Lo spigolo di assorbimento K viene osservato a λ_K = 14.50 pm e le lunghezze d'onda delle prime righe della serie K sono: K_α = 17.02 pm, K_β = 15.06 pm. Si determinino l'energia cinetica e la velocità finale dei fotoelettroni prodotti dalla ionizzazione delle shell M del tallio, indotta da raggi X di 100 keV.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.