STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 24 settembre 2020

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Un fascio di atomi di C è emesso da un forno a temperatura tale che i tre livelli atomici 2s²2p^{2 3}P₀, ³P₁ e ³P₂ sono praticamente equipopolati. L'energia cinetica degli atomi è E_kin=100 meV. Tali atomi sono inviati in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza l=0.2 m, che genera un gradiente di campo magnetico (∂B)/(∂z)= 200 T/m. Successivamente il fascio percorre un ulteriore cammino in una regione di lunghezza l'=l priva di campo magnetico. Si determini (i) il numero totale di componenti del fascio osservate dal rivelatore posto al termine dell'apparato e (ii) la distanza tra le componenti più fortemente deflesse.

2. Un ipotetico cristallo bidimensionale di potassio abbia reticolo quadrato di lato a=310 pm. Nello spazio (k_x,k_y) dei vettori d'onda, si disegni la prima zona di Brillouin (1BZ) e se ne descrivano la forma e le dimensioni in non più di 10 parole. Gli elettroni di conduzione si muovono seguendo la legge di dispersione: ε(k_x,k_y) = -A-B [cos(k_x a) + cos(k_y a)], dove A=3.9 eV e B=3.1 eV, su una scala dove lo 0 di energia è all'infinito lontano dal cristallo. All'interno della 1BZ si disegni la linea equienergia ε(k_x,k_y) = -A. Valutando la frazione di area della 1BZ corrispondente a stati con ε(k_x,k_y) ≤ -A, si dimostri che proprio le soluzioni di ε(k_x,k_y) = -A costituiscono la superficie -- in questo caso linea -- di Fermi. Da questa osservazione si deduca il valore della funzione lavoro di questo ipotetico cristallo. [Si ricorda che cos (-α) = cos(α) e che arccos (-u) = π - arccos(u).]

3. Sono determinate sperimentalmente le energie del quanto vibrazionale (ℏ ω = 473.2 meV) e la costante spettroscopica rotazionale (ℏ² /I = 5.69  meV) della molecola di HD. Si valuti la distanza d'equilibrio tra i due nuclei in tale molecola. Si valutino anche i contributi vibrazionale e rotazionale al calore specifico molecolare alla temperatura di 480 K.

4. Si consideri un gas di elettroni liberi in una dimensione a temperatura nulla. Oltre all'energia cinetica degli elettroni, si consideri l'energia d'interazione tra il campo magnetico uniforme B=1 T e il momento magnetico di spin degli elettroni. Si determini la densità lineare (numero di elettroni al metro) del gas di elettroni al di sotto della quale tutti i momenti magnetici sono allineati al campo.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.