STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 15 febbraio 2021

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Atomi di elio nello stato metastabile di tripletto 1s2s sono inviati in un magnete di Stern-Gerlach alla velocità di 3500 m/s. Nel traferro, di lunghezza 50 cm, il magnete produce un campo a gradiente di 150 T/m. Si determini il numero di componenti in cui questi atomi eccitati vengono deflessi, e la distanza di separazione tra componenti contigue su uno schermo posto a 80 cm dall'uscita dal magnete.

2. L'identità degli atomi componenti la molecola H₂ impone che nel ket globale, il fattore che descrive lo spin nucleare e quello che descrive il moto adiabatico rotovibrazionale abbiano la stessa parità per scambio dei due atomi. In concreto, I_tot=0 implica L pari (paraidrogeno) e I_tot=1 implica L dispari (ortoidrogeno). Data la temperatura rotazionale θ_rot = 87 K, si valuti la frazione d'equilibrio di paraidrogeno sul totale a T=300 K e a T=θ_rot.

3. Per un cristallo di ferro elementare (struttura bcc), si considerino i fononi caratterizzati da spostamenti rigidi di ciascun piano atomico orientato perpendicolarmente a una direzione coordinata, ad es. \hat x della cella cubica. Si prendano in considerazione i soli spostamenti u_j perpendicolari ai piani stessi [fononi longitudinali in direzione (100)]. Assumendo un'interazione elastica tra piani primi vicini, cioè una forza di richiamo su ogni atomo del piano j-esimo data da F_j= C(u_j+1-u_j) + C(u_j-1-u_j), e indicando con b la distanza d'equilibrio tra piani primi vicini, si scriva la legge di dispersione di tali fononi, e si valuti la velocità del suono longitudinale nel ferro in direzione (100), sapendo che C=157 N/m e che all'equilibrio il lato della cella convenzionale cubica a=286.65 pm.

4. In un gas elettronico bidimensionale confinato in una regione di superficie A, il numero di stati di energia cinetica con valori compresi tra E e E+dE è dato da: g_tr(E) dE = (A m_e)/(2π ℏ²)  dE dove m_e è la massa di un elettrone. Per un gas costituito da N elettroni (di spin \nicefrac 12, per cui ogni stato traslazionale può essere occupato da 2 di essi con opposte proiezioni dello spin), si determinino le espressioni dell'energia di Fermi e dell'energia cinetica media per elettrone alla temperatura di 0 K. Si valutino tali quantità quando N/A = 8× 10¹⁸ m^-2.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.