STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 14 febbraio 2022
- Almeno 2 problemi
risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
- Avvertenza:
si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.
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Si determinino i numeri quantici degli stati iniziali e finali per tutte le linee distinte di assorbimento (di dipolo elettrico) che un campione gassoso di Cl atomico alla temperatura di 1000 K mostra nella transizione 3s23p5(2P)
→
3s23p44s(L=1), in assenza di campi magnetici esterni. Di ciascuna di queste linee si valuti l'intensità relativa a quella di energia minore (posta convenzionalmente a 1), tenendo conto di: (i) la popolazione termica di tutti gli stati in cui si splitta la configurazione 3s23p5(2P), e cioè dello stato fondamentale a 0 eV e dello stato eccitato a 109.4 meV; (ii) i livelli rilevanti della configurazione 3s23p44s(L=1) si trovano a 9.20 eV e 9.28 eV al di sopra dello stato fondamentale. Si ricorda che in presenza di degenerazioni, le intensità di transizione si ottengono mediando sugli stati degeneri iniziali e sommando su quelli finali.
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Nell'approssimazione tight-binding a un orbitale per sito e hopping tra atomi adiacenti, i livelli elettronici di un cristallo unidimensionale formato da
N
siti (con condizioni periodiche al contorno) sono descritti dalla banda: ε(k) = -b -2 t cos(k a) , dove
a
è la distanza tra atomi adiacenti,
k
è il vettore d'onda, b
e
t
sono energie positive. Identificando i valori di
k
compatibili con la condizione di periodicità al contorno per
N=6
siti, si valutino le energie dei livelli elettronici. Utilizzando questo modello per descrivere gli stati elettronici di una molecola di benzene (C6H6) occupati dai 6 elettroni di valenza (immaginati come non interagenti), si valuti l'energia di prima ionizzazione della molecola, sapendo che b=4.9 eV e t=2.1 eV sono compatibili con energia del vuoto (elettrone fermo a grande distanza dalla molecola) εvac=0.
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Materiali vetrosi disordinati hanno spesso una distribuzione ``frattale'' degli atomi, con un massa contenuta in una sfera di raggio
r
che cresce come rd, dove
d
è appunto la dimensione frattale. Per tali materiali capita che un'analisi dello spettro dei modi normali mostri una densità dei quanti d'energia vibrazionale ε=ℏω
che a piccola energia va come g(ε) dε = W εd-1 dε . Nello schema del modello di Debye, si assuma che
g(ε)
segua esattamente tale espressione per tutto l'intervallo da
ε=0
a ε=εD, e si annulli al di fuori. Per un campione di
N
atomi si valuti allora (i) la costante
W
in modo da totalizzare
3N
oscillatori. Per una dimensione frattale d=2.4, si espima l'energia interna vibrazionale
U
in funzione della temperatura T, e si mostri (ii) che a bassa temperatura
U≅
costante× Tγ, valutando l'esponente γ, e che (iii) ad alta temperatura U≅ A T, valutando il prefattore A.
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Si applichi un campo magnetico uniforme B=1 T a un gas di elettroni liberi in una dimensione a temperatura nulla. Si considerino l'energia cinetica e l'interazione tra il campo magnetico e il momento magnetico di spin degli elettroni. Si determini la densità lineare del gas di elettroni al di sotto della quale tutti i momenti magnetici sono diretti parallelamente al campo.
Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10-34 J s, qe=1.6021766⋅ 10-19 C, e2 = qe2/(4 π ε0) = 2.3070775⋅ 10-28 J m, me=9.109384⋅ 10-31 kg, mp=1.672622⋅ 10-27 kg, mn=1.674927⋅ 10-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10-27 kg, kB=1.380649⋅ 10-23 J/K, NA=6.022141⋅ 1023 mol-1.
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