STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 8 luglio 2022

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Le soglie di assorbimento K ed L del ferro atomico sono osservate a 7112 eV e 706 eV rispettivamente. Un atomo di ferro eccitato con una lacuna nella shell K può decadere in modo non radiativo raggiungendo uno stato finale con 2 lacune nella shell L. L'energia disponibile viene trasformata in energia cinetica dell'elettrone emesso (effetto Auger). Si valuti l'energia cinetica e la lunghezza d'onda di de Broglie di tale elettrone, nell'approssimazione di elettroni indipendenti, e trascurando la differenza tra l'energia della soglia L e l'energia minima necessaria a strappare un elettrone dalla shell L e portarlo in uno stato slegato.

2. Al di là dell'usuale approssimazione di rotatore rigido, la vera distanza d'equilibrio in una molecola diatomica non coincide con il minimo di V_ad(R), ma con il minimo di V_ad(R) + V_centrif(R), dove il contributo centrifugo all'equazione radiale dipende dal numero quantico rotazionale L, oltre che dalla separazione interatomica R. Di conseguenza, il momento d'inerzia viene a dipendere da L, e lo spettro puramente rotazionale si modifica rispetto a quello di rotatore rigido. Considerando la molecola di ¹H¹²⁷I, ed assumendo V_ad(R)=ε [ (σ/R)⁴ - 2 (σ/R)² ], con ε=3.0 eV e σ=161 pm, si determini il salto energetico della transizione L=3 → 4 nello spettro rotazionale (tenendo anche conto dell'effetto della rotazione sull'energia vibrazionale di punto zero), e lo si confronti con quanto previsto dall'approssimazione di rotatore rigido. [Suggerimento: può convenire esprimere le quantità rilevanti in termini del rapporto adimensionale γ = ℏ²/(4 µ σ² ε).]

3. In un solido isolante non magnetico sono presenti impurezze di ioni Ti²⁺, in ragione di 700 mg/m³. Si valuti il contributo di tali impurezze al calore specifico per unità di volume a T=250 K. Si assuma che delle impurezze, oltre allo stato fondamentale ³F₂, soltanto i livelli ³F₃ e ³F₄ (posti più in alto in energia di 0.02292 eV e 0.05212 eV rispettivamente) abbiano un probabilità non trascurabile di essere eccitati termicamente.

4. La banda di conduzione di un cristallo di sodio sia caratterizzata da energia ε(k) = -B-C cos(a/2 [(π)/6]^1/3 |k|), dove a=429 pm, B=2.75 eV, C=2 eV. Questa expressione è riferita all'energia del vuoto all'esterno del cristallo, posta a ε=0. Ricordando che il cristallo è cubico a corpo centrato (bcc), con lato a della cella cubica convenzionale, si valutino la funzione lavoro del sodio e la velocità degli elettroni al livello di Fermi.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.