STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 21 settembre 2022

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Atomi di elio nello stato metastabile di tripletto 1s2s sono inviati in un magnete di Stern-Gerlach alla velocità di 3500 m/s. Nel traferro, di lunghezza 500 mm, il magnete produce un campo a gradiente di 80 T/m. Si determini il numero di componenti in cui questi atomi eccitati vengono deflessi, e la distanza di separazione tra componenti contigue su uno schermo posto a 800 mm dall'uscita dal magnete.

2. Si determini la distanza internucleare d'equilibrio R_M della molecola HCl, sapendo che alcune righe contigue dello spettro di assorbimento rotazionale di ²H ³⁵Cl sono osservate alle lunghezze d'onda: 234.1, 186.8, 156.4, 134.1, 117.5 µm. Se l'esperimento è condotto con un campione gassoso a 350 K, si indichi quale tra queste righe è la più intensa.

3. Si consideri un ensemble di N particelle spin-1/2 identiche ma ``distinguibili'' in quanto occupanti stati ``orbitali'' diversi (ad es. localizzate su siti differenti). Si assuma che lo stato fondamentale degli spin li veda tutti allineati. Si indichi con ε il costo energetico di rovesciare uno spin. Detta T la temperatura, si calcoli un'espressione per la capacità termica degli N spin:
   • (a) tenendo conto di tutti i 2^N stati con configurazioni qualsiasi di spin, assumendoli non interagenti;
   • (b) nell'approssimazione di includere solamente la popolazione dello stato fondamentale e degli N stati eccitati con un solo spin girato.
   Si discuta brevemente sotto quale condizione l'espressione approssimata (b) fornisce una stima accurata di quella esatta (a). Dati ε=50 meV e T=25 K, si valutino le espressioni ottenute in (a) e (b) per N=10⁶ e per N=10¹⁰ particelle.

4. Utilizzando il modello di fermioni spin-½ non interagenti per l'³He liquido, si stimi la sua pressione ed il suo calore specifico molare alla densità di 110 kg/m³ e temperatura di 0.5 mK.
   [Si ricorda l'espressione U = U(T=0) + (π²)/6  g(ε_F) (k_B T)² + ... per l'energia interna di un gas di fermioni non interagenti in termini della densità degli stati g(ε) e della (bassa) temperatura T.]

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.