STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 13 febbraio 2023

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Si considerino due ipotetici cristalli isolanti U e V caratterizzati da identiche struttura cristallina cubica a facce centrate (fcc, 1 atomo per cella) e densità di massa ρ_U=ρ_V. Si assuma che la costante elastica per gli accoppiamenti tra atomi primi vicini sia l'unica rilevante nella determinazione delle vibrazioni, e che tale costante elastica valga K_U= 450 N/m, e K_V = 620 N/m rispettivamente nei due solidi. Dato che alla (bassa) temperatura T = 12 K il calore specifico molare del primo cristallo è C_U = 0.012 N_A k_B, si determini il calore specifico molare C_V del secondo cristallo alla stessa temperatura. Opzionale: si verifichi che si otterrebbe un diverso risultato se le due strutture fcc avessero diverso passo reticolare e gli atomi dei due cristalli avessero masse diverse, mantenendo le densità di massa identiche.

2. Il contributo rotazionale al calore specifico molecolare è comunemente approssimato con la sua espressione k_B, che è molto accurata nel limite di alta temperatura. Si valuti l'errore percentuale di tale approssimazione per il contributo rotazionale nell'¹H³⁵Cl gassoso alla temperatura T=30 K, sapendo che la terza (in ordine di frequenza crescente) linea dello spettro rotazionale è osservata alla frequenza ν = 1922 GHz.

3. Atomi di elio nello stato eccitato 1s2s(³S₁) sono generati ed accumulati per mediamente un'ora in un contenitore, da cui fuoriescono attraverso un piccolo foro alla velocità media di 2000 m/s e sono immessi in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza 0.5 m e con gradiente di campo dB/dz=9 T/m. Sapendo che la vita media τ per il decadimento di quello stato è di 8000 s, si valuti la frazione di atomi deflessi in corrispondenza alla componente M_J=1 del loro momento angolare sul totale di atomi fuoriuscenti dall'orifizio per unità di tempo. Si determini inoltre l'angolo di deflessione di tale componente.

4. Le celle primitive di tre solidi cristallini differenti A, B e C contengono una massa totale identica, pari a 120 unità di massa atomica. A ha struttura cubica a faccia centrata (fcc); B ha struttura cubica a corpo centrato (bcc); C ha struttura cubica semplice (sc). Raggi X di energia 4527 eV diffrangono su campioni polverizzati di A, B e C, determinando anelli di diffrazione a vari angoli. Per ciascuno dei campioni l'angolo più piccolo risulta pari a 2θ= 32.4^°. Si valutino i lati a delle celle cubiche convenzionali dei tre solidi, si determini quale dei tre solidi ha la densità più elevata, e quanto vale tale densità (in kg/m³).

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.