STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 20 giugno 2023

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Atomi di olmio (Z=67) nella configurazione [Xe]4f¹¹6s² (⁴I) fuoriescono da una fornace alla velocità media di 800 m/s, sono collimati e immessi in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza 0.5 m con gradiente di campo dB/dz=25 T/m. Assumendo una significativa popolazione termica di tutti gli stati a diverso J della configurazione data, si determinino i valori di J e M_J relativi alla componente deflessa di meno e a quella deflessa maggiormente, e i corrispondenti angoli di deflessione dei fasci uscenti.

2. Superando l'usuale approssimazione di rotatore rigido, la distanza media tra i nuclei di una molecola diatomica non necessariamente coincide con il minimo R₀ di V_ad(R), ma con il minimo di V_ad(R) + V_centrif(R), dove il contributo centrifugo all'equazione radiale dipende dal numero quantico rotazionale L, oltre che dalla separazione interatomica R. Per la molecola di N₂, si assuma V_ad(R) = ½ K(R-R₀)², con K=2300 kg/s² e R₀=109 pm. Tenendo conto del contributo centrifugo, si valuti la separazione media tra i due nuclei di azoto per L=0 e L=10. [Suggerimento: per risolvere numericamente la risultante equazione il metodo delle approssimazioni successive può risultare conveniente.] Per ciascuna delle distanze medie corrispondenti ai due valori dati di L, si valuti la separazione energetica tra stati elettronici di bonding e di antibonding le cui energie siano date dagli autovalori della matrice (

   Eat	-Δ
   -Δ	Eat

   ) con E_at=-8 eV e Δ=Δ(R) = 10 eV× exp(-R/120 pm).

3. A quale temperatura la seconda linea del ramo R nello spettro di assorbimento rotovibrazionale di ¹H¹⁹F (distanza d'equilibrio 91.7 pm) ha intensità doppia rispetto alla prima? [Si assuma come di consueto che l'elemento di matrice di dipolo elettrico della transizione sia indipendente dal momento angolare L dello stato iniziale.]

4. Materiali vetrosi disordinati hanno spesso una distribuzione ``frattale'' degli atomi, con un massa contenuta in una sfera di raggio r che cresce come r^d, dove d è appunto la dimensione frattale. Per tali materiali capita che lo spettro dei modi normali mostri una densità di oscillatori che a piccola energia va come g(ε)   dε = W  ε^d-1  dε  , in funzione del quanto d'energia vibrazionale ε=ℏω. Nello spirito del modello di Debye, si assuma che g(ε) segua esattamente tale espressione per tutto l'intervallo da ε=0 a ε=ε_D, e si annulli al di fuori. Per un campione di N atomi si valuti allora (i) la costante W in modo da totalizzare 3N oscillatori. Per una dimensione frattale d=2.5, si espima l'energia interna vibrazionale U in funzione della temperatura T, e si mostri (ii) che a bassa temperatura U≅ costante× T^γ, valutando l'esponente γ, e che (iii) ad alta temperatura U≅ A T, valutando il prefattore A.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.