STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 23 gennaio 2024

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Un fascio collimato di molecole di ossigeno O₂ nel loro stato fondamentale (spin tripletto) è inviato con quantità di moto media |p|=4.33⋅ 10^-23 kg m/s in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza l=30 cm, che genera un gradiente di campo (∂B)/(∂z)= 80 T/m. Successivamente il fascio attraversa una regione di lunghezza l'=1 m priva di campo magnetico raggiungendo infine un rivelatore. Si valuti la distanza tra componenti adiacenti osservate al rivelatore.

2. Un solido isolante contiene impurezze diluite, dunque praticamente non interagenti, di concentrazione 2.9× 10²¹ m^-3. Ognuna di queste impurezze può venire schematizzata come un sistema a due livelli, rispettivamente ad energia E₀=0 (degenere 2 volte) ed E₁=2 meV (degenere 3 volte). Si valuti il contributo di queste impurezze al calore specifico per unità di volume del materiale, alle temperature di 20 K e 150 K.

3. Nell'approssimazione tight-binding a un orbitale per sito e hopping tra atomi adiacenti, i livelli elettronici di un cristallo unidimensionale formato da N siti (con condizioni periodiche al contorno) sono descritti dalla banda: ε(k) = -b -2  t  cos(k a)  , dove a è la distanza tra atomi adiacenti, k è il vettore d'onda, b e t sono energie positive. Identificando i valori di k compatibili con la condizione di periodicità al contorno per N=6 siti, si valutino le energie dei livelli elettronici. Utilizzando questo modello con b=4.9 eV e t=2.1 eV per descrivere gli stati elettronici di una molecola di benzene (C₆H₆) occupati dai 6 elettroni del carbonio non impegnati nei legami sp², si valuti la massima lunghezza d'onda dello spettro di assorbimento elettronico della molecola, trascurando l'interazione tra gli elettroni e degli elettroni con le vibrazioni molecolari.

4. Nella molecola di CO la distanza di equilibrio è 113 pm. Si determini la frequenza in Hz della riga di assorbimento rotazionale più intensa in un campione gassoso di ¹²C¹⁶O all'equilibrio alla temperatura di 540 K.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.