STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 20 settembre 2024

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Le stelle denominate nane bianche possono avere al loro interno una densità dell'ordine di 10¹¹ kg m^-3. Assumiamo per semplicità che
   • queste stelle siano costituite da protoni ed elettroni non interagenti in pari numero e di densità uniforme;
   • che gli elettroni presenti al loro interno siano relativistici con energia ε=c|p|=c ℏ |k|;
   • che la temperatura sia nulla.
   In queste ipotesi si valuti la pressione esercitata da questo gas di elettroni.

2. Trascurando la struttura fine, si costruisca lo schema dei livelli X dell'indio, indicando le energie di eccitazione in eV. Lo spigolo di assorbimento K viene osservato a λ_K = 44.4 pm e le lunghezze d'onda delle prime righe della serie K sono: K_α = 51.7 pm, K_β = 45.5 pm. Si determini l'energia minima con cui bisogna eccitare un atomo d'indio per osservare le righe della serie L. Si valuti inoltre l'energia cinetica dei fotoelettroni prodotti dalla ionizzazione delle shell M dell'indio, indotta da raggi X di 1 keV.

3.  

   La figura a lato rappresenta lo spettro di assorbimento infrarosso di H 80Br gassoso. A partire dai dati sperimentali si determinino:

   • la costante elastica del potenziale adiabatico nell'approssimazione armonica;
   • la distanza d'equilibrio tra i nuclei di H e di Br;
   • si indichi quali dei picchi sarebbero presenti in un ipotetico esperimento condotto a temperatura T=0.

4. Si consideri un ipotetico cristallo unidimensionale con passo reticolare a=320 pm nel quale ciascuna cella primitiva è occupata da un atomo di magnesio. Si assuma che nello stato fondamentale gli elettroni di valenza (assunti non interagenti, in numero di 2 per atomo) si distribuiscano nelle seguenti bande d'energia

   ε1(k)	=-Δ-t  cos ka ,
   ε2(k)	= Δ +t'   cos ka ,

   seguendo la normale statistica fermionica a temperatura nulla. Qui i parametri valgono Δ=2 eV, t=3 eV, t'=5 eV. Sulla base di una corretta determinazione dell'energia di Fermi, si stabilisca se il solido è un metallo o un isolante. Si determinino inoltre le masse efficaci degli elettroni in entrambe le bande, valutate al livello di Fermi se si tratta di un metallo oppure a cima/fondo banda di valenza/conduzione se si tratta di un isolante.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.