STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 14 aprile 2025

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Si consideri un ipotetico cristallo unidimensionale con passo reticolare a=320 pm nel quale ogni cella primitiva è occupata da un atomo di magnesio. Si assuma che nello stato fondamentale gli elettroni di valenza (assunti non interagenti, in numero di 2 per atomo) si distribuiscano nelle seguenti bande d'energia

   ε1(k)	=-Δ-t  cos ka ,
   ε2(k)	= Δ -t'   cos ka ,

   seguendo la normale statistica fermionica a temperatura nulla. Qui i parametri valgono Δ=2 eV, t=3 eV, t'=5 eV. Sulla base di una corretta determinazione dell'energia di Fermi, si stabilisca se il solido è un metallo o un isolante. Si determinino inoltre le masse efficaci degli elettroni in entrambe le bande, valutate al livello di Fermi se si tratta di un metallo oppure ai rilevanti estremi delle bande di valenza e conduzione se si tratta di un isolante.

2. Un campione gassoso rarefatto di molecole ciascuna caratterizzata da spin elettronico S=1/2 immerso in un campo magnetico costante d'intensità 1 T viene preparato in uno stato iniziale con il 100% dei momenti magnetici allineati antiparalleli al campo. Detto γ=1.3× 10⁵ s^-1 il tasso di decadimento spontaneo radiativo di uno spin verso lo stato con momento magnetico allineato nello stesso verso del campo, e nell'ipotesi di poter trascurare l'interazione degli spin con la radiazione elettromagnetica termica, si valuti dopo quanto tempo le popolazioni dello stato eccitato e di quello fondamentale diventano uguali. A tale istante di tempo, qual è la potenza irraggiata da una mole di tali molecole?

3. Molecole di LiBe nel loro stato fondamentale sono inviate come fascio collimato con energia cinetica E_c=50 meV in un magnete di Stern-Gerlach di lunghezza l=40 cm, che genera un gradiente di campo (∂B)/(∂z)= 80 T/m. Si valuti la deflessione angolare dei fasci una volta usciti dal magnete.

4. A pressione nulla, il pattern di diffrazione di un campione di silicio cristallino mostra un picco all'angolo di Bragg θ=75.00^°, che si sposta all'angolo θ=75.10^° quando si sottopone il campione alla pressione P=140 MPa. Da questi dati si valuti il modulo di bulk del silicio, definito come B=-V (∂P)/(∂V)|_T .

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.