STRUTTURA DELLA MATERIA 1 22 luglio 2011

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• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale. Per la laurea quadriennale (corso di Struttura della Materia), la soluzione corretta di 2.5 esercizi garantisce l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Un atomo di idrogeno muonico (nel quale cioè l'elettrone è sostituto da un muone, particella con carica uguale a quella dell'elettrone ma più pesante) si trova nello stato quantistico descritto dalla funzione d'onda: ψ₁₀₀ = (2)/(√((4π))) (Z/(a_µ))^3/2 e^-Zr/a_µ, dove la lunghezza caratteristica a_µ va determinata tenendo conto della massa del muone, pari a 207 m_eu. Si calcoli la distanza media tra il muone e il nucleo nello stato ψ, e l'energia potenziale media del sistema (riferita allo zero corrispondente a muone e protone a distanza infinita).
2. Assumendo per il dimero Ne₂ una dipendenza del potenziale adiabatico dalla distanza interatomica R del tipo:

   V_LJ(R) = 4ε [{((σ)/(R))}¹²-{((σ)/(R))}⁶],

   con ε = 1.40831 ⋅ 10^-22 J, σ = 0.256⋅ 10^-9 m, si determinino la distanza di equilibrio classica e l'energia di legame classica. Si stimino inoltre: a) l'energia di punto zero vibrazionale armonica; b) l'energia di eccitazione di un ipotetico primo stato rotazionale (nell'approssimazione di molecola rigida). Si confrontino i risultati dei punti a) e b) con l'energia di legame classica.

3. Un solido isolante non magnetico (χ_magn trascurabile) contiene impurezze paramagnetiche di spin S=1 e momento magnetico µ_z^max=4/3 µ_B, con densità ρ= 6× 10²⁴ m^-3. Tale solido è immerso in un campo magnetico B=2.4 T. Si calcoli il contributo di tali impurezze al calore specifico (per unità di volume) C_V di tale solido in funzione delle temperatura T, e si valuti C_V per T=1 K e T=500 K. Si discuta brevemente il motivo del comportamento ottenuto ad alta temperatura, ad esempio disegnando un grafico con l'andamento qualitativo dell'energia interna in funzione della temperatura. [Suggerimento: si faccia uso della variabile adimensionale x=µ_z^max|B|/(k_BT).]
4. Il calore specifico molare C_v di un solido isolante è pari a 1.16 ⋅ 10^-3 J/(mol K), 9.23 ⋅ 10^-3 J/(mol K) e 0.249 J/(mol K) alle temperature di 5 K, 10 K e 30 K rispettivamente. Sapendo che raggi X di lunghezza d'onda λ=105 pm sono diffratti dalla sua struttura fcc ad un angolo minimo 2θ = 26.0^°, si valuti la velocità media del suono v_s in questo solido. [Si ricorda il legame tra la frequenza angolare di taglio nel modello di Debye, la velocità del suono e la densità numerica degli atomi N_at/V: ω_D = v_s (6 π² N_at/V)^1/3].

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, h=1.05457267⋅ 10^-34 J s, q_e=1.60217733⋅ 10^-19 C, q_e²/(4 π ε₀) = 2.30707956⋅ 10^-28 J m, m_e=9.1093897⋅ 10^-31 kg, m_p=1.6726231⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.6605402⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380658⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.0221367⋅ 10²³ mol^-1.