STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 11 settembre 2019

• Almeno 2 esercizi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Un fascio di atomi di nickel con energia cinetica 300 meV e costituito da una miscela di [Ar]3d⁸4s²(³F₄) e [Ar]3d⁹4s(³D₃) viene immesso in un magnete di Stern-Gerlach con gradiente di campo pari a 150 T/m e lunghezza 80 cm. Si determini il numero di spots rilevati da un detector posto a distanza 180 cm dall'uscita dal magnete. Si determini inoltre la distanza tra le due componenti maggiormente deflesse.

2. Si consideri un ipotetico cristallo unidimensionale con passo reticolare a=320 pm nel quale ciascuna cella primitiva è occupata da un atomo di magnesio. Si assuma che nello stato fondamentale gli elettroni di valenza (assunti non interagenti, in numero di 2 per atomo) si distribuiscano nelle seguenti bande d'energia ε_1 k=-Δ-t  cos ka , e ε_2 k= Δ +t'   cos ka , seguendo la normale statistica fermionica a temperatura nulla. Qui i parametri valgono Δ=2 eV, t=3 eV, t'=5 eV. Sulla base di una corretta determinazione dell'energia di Fermi, si stabilisca se il solido è un metallo o un isolante. Si determinino inoltre le masse efficaci degli elettroni in entrambe le bande, valutate al livello di Fermi se si tratta di un metallo oppure a cima/fondo banda di valenza/conduzione se si tratta di un isolante.

3. L'energia potenziale adiabatica V_ad(R) di una molecola di H³⁵Cl in funzione della distanza R tra gli atomi può essere rappresentata dalla forma (di Morse): V_ad(R)= E_b[ e^-2a(R-R₀) - 2 e^-a(R-R₀) ], con E_b=4.43 eV, R₀=0.128 nm ed a=19.0 (nm)^-1. A causa della forza centrifuga agente sugli atomi in uno stato rotazionale altamente eccitato, la distanza d'equilibrio aumenta di 7 pm. Si valuti la variazione dell'energia di punto zero vibrazionale rispetto al suo valore nello stato rotazionale l=0.

4. Si stimi la temperatura minima necessaria a produrre raggi ultravioletti di energia maggiore di 5 eV mediante una sorgente termica di corpo nero, se si desidera un'efficienza dello 0.1%. [Si ricorda che ∫₀^∞ dt  t³/(e^t -1) = π⁴/15, e che per t >> 1, rimpiazzando [exp(t) -1]^-1 con exp(-t) l'errore introdotto risulta del tutto trascurabile].

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070775⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.