STRUTTURA DELLA MATERIA 1 -- 24 giugno 2026

• Almeno 2 problemi risolti correttamente garantiscono l'ammissione all'esame orale.
• Avvertenza: si giustifichino con poche parole tutti i passaggi; verranno considerate nulle le soluzioni anche corrette prive di adeguate giustificazioni.

1. Si descrivano gli elettroni dell'atomo di elio (Z=2) come inizialmente non interagenti. Si tenga poi conto della loro repulsione coulombiana aggiungendo all'energia totale degli elettroni non interagenti la seguente correzione:
   E_C(n₁,l₁,n₂,l₂,S) = (5/2^4/3 +½ (l₁^3/2+l₂^3/2-S)) / ((n₁²+n₂²)^2/3+(n₁-n₂)²) E_Ha ,
   dove E_Ha è l'energia di Hartree, n₁,l₁,n₂,l₂ sono i numeri quantici dei due elettroni e S è lo spin totale dell'atomo. Si valuti la minima intensità di un ipotetico campo d'induzione magnetica in grado di promuovere il primo stato eccitato magnetico (spin S=1) a stato fondamentale. Per semplicità si tenga conto del solo accoppiamento del campo magnetico con lo spin degli elettroni.

2. Sono determinate sperimentalmente le energie del quanto vibrazionale (ℏ ω = 473.2 meV) e la costante spettroscopica rotazionale (ℏ² /I = 5.69  meV) della molecola di HD. Si identifichi lo stato rotovibrazionale (v,l) maggiormente popolato alla temperatura di 480 K. Si valutino anche i contributi vibrazionale e rotazionale al calore specifico molecolare alla stessa temperatura.

3. Si assuma che lo spettro della radiazione emessa da una fornace sia assimilabile ad una radiazione di corpo nero, e si supponga di misurare la potenza irraggiata (in W⋅m^-2) nel solo intervallo di lunghezze d'onda comprese nell'intervallo (infrarosso) tra 3000 e 3010 nm. Sapendo che raddoppiando la temperatura assoluta della fornace tale potenza aumenta di un fattore 6, se ne determini la temperatura finale, dopo il raddoppio. A tale temperatura, si valuti il rapporto tra la potenza irraggiata nella finestra (visibile) compresa tra 695 e 705 nm e quella irraggiata nell'intervallo 3000--3010 nm. [Tenendo conto della piccolezza degli intervalli si approssimi ∫_a^b f(x) dx ≅ f(½ (a+b))⋅ (b-a).]

4. In una scala che pone a zero l'energia di un elettrone a riposo a grande distanza dal solido, si assuma che l'energia di banda degli elettroni di conduzione di un ipotetico cristallo unidimensionale di cesio sia ε_k = -A-B cos(k a)-C cos(2 k a), dove A=2.5 eV, B=4.1 eV, C=0.1 eV, k è il vettore d'onda e a è il passo reticolare del cristallo. Si determini la massima lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica in grado di produrre effetto fotoelettrico da un tale ipotetico materiale.

Segue una lista di valori comunemente accettati per alcune costanti fisiche rilevanti:
c=299792458 m/s, ℏ=1.0545718⋅ 10^-34 J s, q_e=1.6021766⋅ 10^-19 C, e² = q_e²/(4 π ε₀) = 2.3070776⋅ 10^-28 J m, m_e=9.109384⋅ 10^-31 kg, m_p=1.672622⋅ 10^-27 kg, m_n=1.674927⋅ 10^-27 kg, a.m.u.=1.660539⋅ 10^-27 kg, k_B=1.380649⋅ 10^-23 J/K, N_A=6.022141⋅ 10²³ mol^-1.